Avez-vous déjà pensé que les concepts les plus simples en mathématiques pouvaient cacher les plus grands mystères des nombres premiers ? On les apprend dès le collège : un nombre premier est un entier qui ne peut être divisé que par 1 et par lui-même, sans laisser de reste. Simple, n’est-ce pas ? Pourtant, derrière cette définition se cachent des défis qui intriguent les mathématiciens depuis des siècles. Ces nombres ont quelque chose d’étrange, presque de mystérieux.
Prenez 7 ou 13, ce sont des nombres premiers. Mais 21 ? Non, car il se divise par 3. 100 ? Non, il se divise par 10. Les premiers qui nous viennent à l’esprit sont 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19… Et la liste continue à l’infini, comme Euclide l’a prouvé il y a plus de 2000 ans. Pourtant, malgré cette apparente simplicité, les questions non résolues autour des nombres premiers sont légion.
La Conjecture de Goldbach : Une Simplicité Trompeuse
Il existe par exemple une assertion fascinante : tout nombre pair est la somme de deux nombres premiers. C’est ce qu’a proposé Christian Goldbach, un mathématicien allemand du 18ème siècle. Il en était convaincu, mais ne savait pas comment le prouver. Il en parla alors avec Leonhard Euler, que beaucoup considèrent comme le plus grand mathématicien de tous les temps.
Euler, bien que sûr de la véracité de l’idée de Goldbach, n’a pas non plus réussi à la prouver. Le plus incroyable ? Personne n’y est parvenu depuis ! Nous sommes toujours à la recherche d’une preuve formelle. Pourtant, on a vérifié cette conjecture de Goldbach avec des ordinateurs jusqu’à des nombres astronomiques – tenez-vous bien, jusqu’à 4 quintillions (soit 4 suivi de 18 zéros !) – et elle tient toujours.
* 8 = 5 + 3
* 12 = 5 + 7
* 20 = 17 + 3 (et aussi 13 + 7)
On voit bien que cela fonctionne à chaque fois. Mais « ça fonctionne » et « c’est prouvé pour tous les cas possibles » sont deux choses très différentes en mathématiques. Une affirmation que l’on croit vraie mais qu’on ne peut prouver s’appelle une conjecture. Et la conjecture de Goldbach reste, à ce jour, l’une des plus célèbres.
Ces interrogations nous mènent à nous intéresser à la distribution des nombres premiers. Entre 0 et 100, on en compte 25. Entre 0 et 1000, 168. Et entre 0 et 10000, 1229. Plus l’intervalle est grand, plus leur proportion diminue.
Il existe aussi des jumeaux premiers, comme 5 et 7, 11 et 13, 17 et 19, séparés par un écart de deux. En existe-t-il une infinité ? On ne sait pas. Pareil pour les cousins premiers (écart de 4) ou les sexys premiers (écart de 6, sans rapport avec le côté « séducteur » du nombre, mais avec le « six » anglais/français !). C’est amusant de voir que les mathématiciens ont aussi leur sens de l’humour.
En 2013, une avancée majeure a été réalisée par Yitang Zhang, un mathématicien peu connu, qui a montré qu’il existe une infinité de paires de nombres premiers dont l’écart est inférieur à 70 millions. Un bond incroyable, même si 70 millions peut sembler beaucoup ! D’autres mathématiciens ont ensuite réduit cet écart à 246. Ce n’est pas encore la preuve de l’infinité des jumeaux premiers, mais c’est un pas immense.
L’histoire de Zhang est touchante : travaillant seul dans une petite université, il a envoyé sa preuve à la prestigieuse revue *Annals of Mathematics* et est devenu une star en quelques semaines. Un rappel inspirant qu’un génie solitaire peut encore bouleverser le monde des mathématiques.
Leonhard Euler : Un Génie Intemporel, au-delà de la Vue
Puisqu’on parle de génie, revenons à Leonhard Euler. Imaginez la scène : 18 septembre 1783, Saint-Pétersbourg. Euler, comme à son habitude, donne une leçon de maths à l’un de ses petits-enfants, puis se penche sur des calculs concernant la mécanique des ballons. Pendant ce temps, les frères Montgolfier s’apprêtent à faire voler une brebis devant Louis XVI à Paris.
L’après-midi, Euler travaille sur l’orbite d’Uranus, récemment découverte. Les équations qu’il développe ce jour-là mèneront des années plus tard à la découverte de Neptune, mais il ne vivra pas assez longtemps pour en être témoin. Vers 17 heures, il est frappé d’une hémorragie cérébrale. Ses derniers mots : « Je meurs ». Ce soir-là s’achève la carrière la plus prolifique de l’histoire des mathématiques.
Euler, mathématicien suisse ayant œuvré à Berlin et Saint-Pétersbourg, a touché à tous les domaines : maths, physique, ingénierie. Ses découvertes sont non seulement capitales, mais leur nombre est inégalé. Ses œuvres complètes, l’ *Opera Omnia*, comptent déjà 73 volumes de 600 pages chacun, et ce n’est pas fini !
Le plus incroyable ? La moitié de son œuvre a été produite dans les 17 dernières années de sa vie, une période marquée par des tragédies personnelles. Et surtout, durant ces années-là, Euler était complètement aveugle. Des milliers de pages de théorèmes, il les a tous dictés de mémoire. Une preuve éclatante de la puissance de l’esprit humain.
Königsberg et la Naissance de la Théorie des Graphes
Trente ans avant de perdre la vue, alors qu’il était encore à Saint-Pétersbourg, Euler s’était amusé à résoudre un problème récréatif posé dans la ville voisine de Königsberg. Cette cité commerçante, traversée par le fleuve Pregel, comptait sept ponts reliant les différentes rives et l’île Kneiphof.
Le défi populaire était simple : est-il possible de traverser les sept ponts sans jamais passer deux fois par le même ? Pendant des décennies, personne n’y est parvenu. C’est Euler, en 1736, qui a prouvé mathématiquement que non, un tel parcours était impossible tant qu’il y avait sept ponts.
Ce faisant, Euler n’a pas seulement résolu une énigme locale ; il a, sans le savoir, fondé la théorie des graphes, une branche immense et fondamentale des mathématiques. Son approche était à la fois simple et élégante : il a modélisé les quatre masses terrestres (les rives et l’île) comme des « nœuds » et les sept ponts comme des « connexions » ou « arêtes ».
La clé de sa preuve résidait dans une observation toute simple : pour qu’un chemin puisse emprunter tous les ponts une seule fois, il ne peut y avoir plus de deux nœuds avec un nombre impair de connexions (un pour le début, un pour la fin). À Königsberg, il y avait quatre nœuds avec un nombre impair de connexions. Imparable.
Aujourd’hui, la théorie des graphes est devenue indispensable. Elle est la base de notre compréhension des réseaux modernes : du fonctionnement d’Internet aux connexions entre amis sur les médias sociaux. Elle aide à optimiser la logistique, à modéliser des interactions complexes en biologie, ou encore à développer l’intelligence artificielle. Les travaux d’Euler sur les graphes, rapidement développés par des figures comme Paul Erdös, ont une importance cruciale et sont partout autour de nous.
Les mystères des nombres premiers et l’héritage d’Euler nous rappellent que les mathématiques ne sont pas seulement des chiffres et des équations, mais aussi une quête incessante de vérité, d’élégance et de compréhension du monde qui nous entoure.
Questions Fréquemment Posées
Qu’est-ce qu’une conjecture en mathématiques ?
Une conjecture est une proposition mathématique qui est considérée comme vraie en se basant sur de nombreuses observations ou vérifications, mais pour laquelle aucune preuve formelle n’a encore été trouvée. La conjecture de Goldbach en est un parfait exemple.
Quel est le rôle de Leonhard Euler dans la théorie des graphes ?
En résolvant le problème des sept ponts de Königsberg, Leonhard Euler a involontairement fondé la théorie des graphes. Il a transformé les masses terrestres en « nœuds » et les ponts en « connexions », jetant ainsi les bases d’une branche mathématique essentielle pour l’étude des réseaux.
À quoi sert la théorie des graphes aujourd’hui ?
La théorie des graphes est devenue fondamentale pour modéliser et comprendre de nombreux systèmes complexes. Elle est cruciale dans la conception et l’optimisation des réseaux informatiques (comme Internet), l’analyse des médias sociaux, la logistique, la bio-informatique, et même certains aspects de l’intelligence artificielle.
